En
Mathématiques, une
fraction dyadique ou
rationnel dyadique est un
Nombre rationnel qui, lorsqu'il est écrit sous forme de
Fraction, possède un
Dénominateur sous forme de
Puissance de deux, c'est-à-dire un
Nombre rationnel de la forme
où
a est un
Entier relatif et
b est un
Entier naturel. Par exemple, 1/2 ou 3/8 mais pas 1/3. Ce sont précisément les nombres qui ont un développement de « décimales » binaire fini.
Le pouce est habituellement divisé de manière dyadique plutôt qu'en fractions décimales; de manière similaire, les divisions habituelles du Gallon en demi--gallons, quarts et pintes sont dyadiques. Les anciens égyptiens utilisaient aussi les fractions dyadiques dans les mesures, avec des dénominateurs allant jusqu'à 64.
L'Ensemble de toutes les fractions dyadiques est dense dans l'ensemble des nombres réels; un nombre réel quelconque x peut être arbitrairement approché autant que l'on veut par des rationnels dyadiques de la forme ⌊ 2 i x ⌋ / 2 i . Comparé aux autres sous-ensembles de la droite réelle, tels que les nombres rationnels, c'est un ensemble dense dans un certain sens, plutôt « petit », c'est pourquoi il apparaît quelquefois dans les démonstrations. Article détaillé : ..
La somme, le produit ou la différence de deux fractions dyadiques quelconque est elle-même une autre fraction dyadique :
a
–––
2 b | + | c
–––
2 d | = | 2 d-b a+c
–––––––––––
2 d | (d ≥ b) |
a
–––
2 b | - | c
–––
2 d | = | 2 d-b a-c
–––––––––––
2 d | (d ≥ b) |
a
–––
2 b | - | c
–––
2 d | = | a-2 b-d c
–––––––––––
2 b | (d< b) |
a
–––
2 b | × | c
–––
2 d | = | a × c
–––––––––
2 b+d | . |
Par contre, le résultat de la Division d'une fraction dyadique par une autre n'est pas, en général, une fraction dyadique. Ainsi, les fractions dyadiques forment un sous-anneau de l'ensemble des nombres rationnels Q . Algébriquement, ce sous-anneau est la localisation des entiers Z qui respecte l'ensemble des puissances de deux.
- Quelles propriétés possède cet anneau ?
Les nombres surréels sont générés par un principe de construction itérative qui commence en générant toutes les fractions dyadiques finies, puis conduit à la création de nouvelles et étranges sortes de nombres infinis, infinitésimaux et autres.
Solénoïde dyadique
En tant que
Groupe abélien additif, l'ensemble des rationnels dyadiques est la limite directe des sous-groupes
cycliques infinis
2 - n Z
pour n = 0, 1, 2, ... . Dans l'esprit de la dualité Pontryagin, il existe un objet dual, nommément la limite inverse du groupe du cercle unité sous l'application carrée répétée
ζ → ζ 2 .
Le Groupe topologique résultant D est appelé le solénoïde dyadique. Article détaillé : .
Un élément du solénoïde dyadique peut être représenté comme une suite infinie de nombres complexes :
q 0 , q 1 , q 2 , … , avec la propriété que chaque qi se place sur le cercle unité et que, pour tous les i > 0,
q i 2 = q i - 1 .
L'opération de groupe sur ces éléments multiplie deux suites quelconques convenablement.
En tant qu'Espace topologique, c'est un continuum indécomposable.
Voir aussi